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#미분 , #적분 을 보면 너무 어려운 기호들이 많죠?
이미 미적분을 배우셨다고요?
그럼 ‘∫’ , ‘d’ 이 기호들을 정확한 의미를 아시나요?
아마 문제에서 이런기호나 나오면 이렇게 풀어라..
이런 식으로 배우신 분들이 많으실 텐데요!
이렇게 배우다 보면 마치 이런 기호들이 공식인 것처럼 느껴지게 됩니다.
그럼… 다들 아시죠?.. 무작정 공식처럼 외우면 어떻게 되는지..
이 기호들의 의미를 정확히 알면
조금의 센스만 있어도 바로 미적분의 핵심을 파악할 수 있어요!!
#초등학생 도 조금만 집중하면 당연히 이해할 수 있겠죠?
그럼 미적분의 진짜 의미를 꿰뚫로 가볼까요~?
놀면서❤️수학만점~ 인공지능수학 깨봉!
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상미분방정식 기초 미분방정식 공식 정리 미분방정식 실생활 계산기. 주미주 2019. 10. 1. 07:14. – 상미분방정식 기초. 계수order 미분방정식에 포함되는 최고계의 도 …
Source: wpsufpdltus3.tistory.com
Date Published: 7/1/2022
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kreyszig 공업수학. 미분방정식 요약 – 네이버 블로그
오늘 포스팅인 미분방정식의 요약은 1계,2계미분방정식의 해 구하는 법을 간단한 증명과 공식을 적음고 약간의 글을 더하므로써 마무리 할것이다.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 2/30/2022
View: 7233
[MATH/공수] 1계 상미분방정식 푸는 법 – 경호의 개발일지
에서 u=y1−a 치환하면 선형상미분방정식의 꼴이 나오고 바로 위에서 정리한 공식을 이용할 수 있다. 끝. 태그: engineering mathematics. 카테고리: math.
Source: gyeonghokim.github.io
Date Published: 9/5/2021
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Top 48 미분 방정식 공식 정리 83 Most Correct Answers
편미분방정식(partial differential equation). 계수 (order): 미분한 횟수 … 1계 선형 미방 해의 공식. Table of Contents: 미분 방정식 공식 …
Source: chewathai27.com
Date Published: 2/20/2021
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Nonhomogeneous Differential Equation(미분연산자)
이번에는 조금 다른 개념을 가지고 와서 아주 쉽게 미분방정식의 특수해를 구하는 법에 대해서 정리하겠습니다. 미정계수법은 일단 어떠한 정해진 틀 …
Source: kwon-jjing.tistory.com
Date Published: 12/2/2022
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미분방정식의 풀이 정리 – Ernonia
미분방정식의 풀이 정리. DimenErno 2019. 9. 26. 13:10. Exact Equation. Exact Differential: ∂M∂y=∂N∂x ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x 일 때 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 M …
Source: dimenchoi.tistory.com
Date Published: 2/11/2022
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2차 선형 미분방정식을 푸는 방법 – 수학과 사는 이야기
먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자. 2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다.
Source: suhak.tistory.com
Date Published: 12/25/2022
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- Date Published: 2020. 5. 27.
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상미분방정식 기초 미분방정식 공식 정리 미분방정식 실생활 계산기
– 상미분방정식 기초
계수order 미분방정식에 포함되는 최고계의 도. 함수의 계수. 차수degree 최고계의 도함수의 차수. 계order of 상미분방정식. 변수 에 관한 의 계도 1.1 미분방정식의 기초와 응용
상미분 방정식常微分方程式, 영어 ordinary differential equation, 약자 ODE은 미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 누락된 검색어 기초정의 · 선형 상미분 방정식 · 제차 선형 상미분 방정식 · 비제차 선형 상미분 방정식 상미분방정식
1차 미분방정식의 개요. 이전 포스팅에서 다룬것을 요약하면 미분방정식이란 하나 또는 그 이상의 도함수가 포함된 방정식을 뜻하며 y를 구하는 1계 상미분방정식first
미분방정식을 함수론적으로 연구하였고, I.L.푹스는 1965년 선형상미분 방정식의 이론적 기초를 확립하였다. A.M.르장드르는 타원함수를, J.H.푸앵카레는 보형함수保形 미분방정식微分方程式, differential equation
– 상미분방정식 미분방정식 공식 정리
1차 미분방정식의 개요. 이전 포스팅에서 다룬것을 요약하면 미분방정식이란 하나 또는 그 이상의 도함수가 포함된 방정식을 뜻하며 y를 구하는 1계 상미분방정식first
미지함수가 일변수이면 상미분항만을 포함한 상미분방정식常微分 . 여기서 만약에 한 걸음 더 나아가서 코사인 방정식을 사용하여 식을 정리한다면, 참고로 라플라스 역변환은 공식이나 복소적분을 이용하면 쉽게 구할 수 있다. 미분방정식
상미분방정식을 유도, 표준화된 방법으로 방정식을 풀고, 주어진 문제의 견지에서 그래. 프와 해를 모델화. ○ 계Order 미분방정식에 포함된 도함수 중 제일 많이 미분된 숫자 1단계 물리적 상황물리적 시스템에서 수학적 공식수학적 모델을 도출 . +. ∫. ∫ tan arctan. 1. 1. 1. 1. 1. /. 1. 1. 2. 2. 2. 2. 변수분리형. 적분. 정리 Ch. 1 1계 상미분방정식
완전 상미분방정식이 아니기 때문에, 이제 적분인자 를 이용해봅시다 ^^ 저번에적분인자를 구하는 공식의 증명을 해볼게요! 위의 미분방정식이 불완전한 상황일 미분방정식 ③2 완전 미분방정식 적분인자
– 상미분방정식 미분방정식 실생활
상미분 방정식常微分方程式, 영어 ordinary differential equation, 약자 ODE은 미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 정의 · 선형 상미분 방정식 · 제차 선형 상미분 방정식 · 비제차 선형 상미분 방정식 상미분방정식
수학미분의 실생활 응용 레포트 소개글 미분 방정식이 실생활에 어떻게 이용이 개념을 소개하고 1계 상미분방정식, 고계 미분방정식, 선형 상미분방정식, 급수해법, 미분 방정식의 미분 방정식 시스템
식 1과 같은 1차 상미분 방정식the first order ordinary differential equation은 해의 그래서, 식 3에 대한 미분 방정식의 해를 일반해general solution yg라고 한다. . 상미분방정식의 실생활 속의 예로는 어떤 것들이 있나요? 선형 상미분 방정식線形 常微分方程式
공학과는 실생활에서 필요한 기계의 설계와 생산부터 자동차, 로봇, 인공위성, 초고속 열차, 인공 장기, 나노기술 등 미래의 첨단 기술에 대해서 배우는 전공입니다 학점은행제 기계공학과 기계과 그리고 일반기계기사 합격률까지 알아보자
– 상미분방정식 계산기
공학수학 카테고리에서 처음 쓰는 이 글은, 2계 상미분방정식 second order ordinary differential equation의 일반적인 풀이법에 대해서 소개하고, 2계 상미분방정식의 풀이 Naver Blog
적분 미분 방정식을 풉니다. 클립보드에 복사하기. In1=. Click for copyable input 램프 강제 함수를 사용한 상미분 방정식 해결. 제품; WolframOne · Mathematica 적분 미분 방정식
현대적인 계산기를 만든 Babbage는 유럽대륙 중심의 당시 수학계와는 거리가 있는 영국의 수학자였다는 것이다. 또, 2차 세계대전 후에 현대적인 컴퓨터의 발전과 퍼온글 행렬 이론의 과거와 현재 2. 선형대수학의 르네상스
가감승제로까지 최소제곱법·분산분석법·수치적분법·상미분방정식 등 고도까지 계산이 전자계산기로 행하고, 그 계산결과까지 음성으로서는 회답이 받게 됩니다. 판매 서비스는 단추식 자동전화기
kreyszig 공업수학. 미분방정식 요약
이제 복학이 정말 1주 남았다. 본의아니게 코로나로 미뤄진 복학이지만 2주 더 얻은 시간을 공업수학에 할애하기로 했다. 공업수학은 내게 치욕을 준 과목이다. 그렇게 안어려운데 왜 나는 기말고사마다 백지답지를 냈는가……..
공업수학 과목과는 별개로 공업수학은 타 전공과목을 푸는데 큰 도움을 준다. 역으로 공업수학을 모르면 다른 전공과목의 풀이가 힘들어질 수 있다. 그래서 간단히 우리과 교양과목인 공업수학에서 좀 필요하고 중요할 수 있는 부분들만 요약해 올리려 한다. 약 4개의 포스팅으로 이 카테고리는 마무리 될 듯 싶고 오늘은 가장 기본인 미분방정식을 요약할 것이다.
우리과는 선형미분방정식을 주로 다룬다. 아마 어디나 마찬가지일 것 같다. 선형이어야 풀이가 쉽고 나머지는 컴퓨터로 돌려버리면 된다.
오늘 포스팅인 미분방정식의 요약은 1계,2계미분방정식의 해 구하는 법을 간단한 증명과 공식을 적음고 약간의 글을 더하므로써 마무리 할것이다.
혹시 공업수학 과목을 공부하는거라면 이 포스팅은 도움이 안된다. 1장만 봐도 미분방정식의 풀이는 3가지 정도(변수분리, 적분인자, 선형)근데 나는 선형만 다룰것이다.
내가 공업수학을 처음 접했을 때 느낀 감정은 너무 공학적이라는 것이었다. 나는 문제를 풀 때 공식을 적용 안하고 그 공식을 증명하는 방법대로 풀어서 나간다. 굉장히 오래 걸리지만 이게 재미있고 이게 정도(正道)라 생각했다. 멍청한놈….그러니 수능을 그따위로 보지.
여튼 공업수학은 공학이다. 빠르고 정확해야한다. 공식을 외우고 바로바로 적용할 수 있어야한다. 우리가 곱셈을 일일이 더하기로 풀지 않듯이 문제를 보고 이 식의 해는 00의 꼴, 그래서 필요한 수는 —–하면서 바로 답을 구할 수 있어야한다. 그리고 그 원리가 아닌 해의 의미를 이해하는게 그 식의 원리를 이해하는 것보다 의미있다. 우리는 수학과가 아니기 때문이다.(수학과라면 그 원리와 이해 둘 다 중요하겠지;;ㄷㄷ)
[MATH/공수] 1계 상미분방정식 푸는 법
미분방정식
도함수를 포함하는 방정식을 미분방정식이라 한다
미분방정식에도 종류가 많은데 기준을 독립변수의 수라고 하면 1개인 경우가 상미분방정식, 여러 개인 경우가 편미분방정식이다.
미분방정식의 차수
미분방정식안에 들어있는 도함수 중에 최고로 높은 차수, 그러니까 제일 많이 미분했는 항이 몇 번 미분한 건지가 그 미분방정식의 차수가 된다.
1계 상미분방정식
독립변수 하나에 최고차수가 1차, 그러니까 한번 미분한 함수가 최고인 미분방정식이다.
아래에 나오는 미분방정식은 전부 1차임을 가정하고 푼다.
이런 미분방정식을 푸는 법에는 여러가지가 있다.
변수분리 풀이법 완전미분방정식 풀이법 선형상미분방정식 풀이법 베르누이 방정식 풀이법
변수분리
가장 쉽게 떠올릴 수 있는 방법으로, 같은 것끼리 묶어둔 꼴(독립변수는 전부 우변, 종속변수는 전부 좌변 이런 식)로 정리를 한 뒤에 독립변수에 대해 적분을 하면 된다. \(\frac{y}{x}\) 꼴로 정리되는 미분방정식도 있는데 그 때는 그 분수 통째로 치환해서 정리하면 변수분리가 가능해진다.
\(g(y)\dot{y}=f(x)\)
\({\int_{}{}g(y)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x}={\int_{}{}f(x)\text{d}x} + c\)
여기서 골때리는게 나는 미분법이라던가 적분법을 모른다.
걱정하지 말자, 군대갔다오면 전부 그렇다. 나도 \(x^{n}\) 미분못해서 충격받고 한참 울었다.
어쩔 수 없지. 자주 나오는 미분법과 적분법을 외워 보자.
자주나오는 미분
미분할 때 규칙이다.
상수 미분하면 0 분배법칙 성립 두 종속변수의 곱을 미분하면 각각을 따로 미분해서 더하면 됨 두 종속변수의 분수꼴을 미분하면 분모는 제곱, 분자는 따로 미분해서 빼면됨 체인 룰 성립
다항함수는 이렇게 미분한다.
지수를 아래로 내리고 지수에 1을 빼면 된다.
\({(x^{n})}^\prime = nx^{n – 1}\)
지수함수, 삼각함수, 쌍곡함수는 이렇게 미분한다.
\({(e^{x})}^\prime = e^{x}\)
\({(a^{x})}^\prime = {a^{x}}\ln(a)\)
\((\sin(x))^\prime = \cos(x)\)
\(\cos(x)^\prime = -\sin(x)\)
\(\tan(x)^\prime = \sec^2(x)\)
\(\cot(x)^\prime = -\csc^2(x)\)
\(\sinh(x)^\prime = \cosh(x)\)
\(\cosh(x)^\prime = \sinh(x)\)
이상한 내 친구처럼 고등학교 졸업하고 대학교 1학년에 미적보다 공수1을 먼저 듣거나 군대를 갔다온 사람이라면 쌍곡함수는 몰라야 정상이다. 어차피 미적분수업아니니까 자세히 알 필요는 없고 분자에 자연상수로 이상한 짓거리를 한 분수 정도로 알면 된다. 삼각함수랑 아무짝에도 관련없다. 자연상수 미분하면 똑같이 나오니까 -1이 안붙는다고 이해하면 된다.
로그함수, 역삼각함수는 이렇게 미분한다.
\((\ln{x})^\prime = \frac{1}{x}\)
\((\log_{a}{x})^\prime = \frac{1}{x\ln{a}}\)
\((\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)
\((\arccos{x})^\prime = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)
\((\arctan{x})^\prime = \frac{1}{1 + x^2}\)
\((\arccot{x})^\prime = -\frac{1}{1 + x^2}\)
자주 나오는 적분
적분은 미분의 역연산이다.
타자치기가 귀찮다.
완전상미분방정식과 적분인자
첫번째,
어떤 함수가 독립변수 두 개를 가지고 있다고 하자. 그 때 각각의 독립변수에 대해 편미분한 함수가 모두 연속이면 그것의 전미분이
\(du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy\) 이다.
기억은 안나지만 군대가기 전에 이 사실을 배웠다고 한다. 받아들이자.
두번째,
상수를 미분하면 0이 나온다.
어떤 미분방정식을 정리해보았더니 좌변이 완전미분이고 우변이 0나오면 이걸 완전미분방정식이라고 부르고 위 두 사실을 이용해서 원래 함수를 찾을 수 있다.
완전미분의 꼴임을 어떻게 알 수 있는가
\(y^\prime = \frac{dy}{dx}\) 이다.
양 변에 dx를 곱하고 dx와 dy에 대한 항으로만 묶이는 꼴로 정리가 가능하면 일단 완전미분일 가능성이 있다.
\[M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0\]
이렇게 정리를 해두었을 텐데 M과 N이 각각 우리가 구하려는 함수의 x에 대한 편미분, y에 대한 편미분이어야 한다.
만약 위 식이 완전미분방정식이라면 M을 y에 대해 편미분한 값과 N을 x에 대해 편미분한 값이 같아야 한다(연속성의 가정).
\[\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\]
만약에 같다?
그러면 둘 중에 적분하기 쉬운거 하나 골라서 적분하고 미분하고 물고 빨다보면 풀린다. 자세한 과정은 laTex문법을 잘 몰라서 안적겠다. 여기까지 읽을 정도의 깡과 집중력이라면 이 정도는 스스로 찾아볼 수 있다고 생각한다. 잠깐 구글에 first order exact ODE라고 검색해서 읽어보자.
적분인자
\[P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0\]
문제를 막 풀다가 결국 위 꼴로 방정식이 정리가 된다면
교수님이 이 문제를 완전미분방정식 풀이법으로 풀라고 만들었다는 뜻이다. 근데 좌변이 완전미분이 아닐 때가 있다.
이럴 때는 특정한 함수를 양 변에 곱해서 완전미분방정식으로 만들어보라는 뜻이다.
그 특정함수를 적분인자라고 부르고 적어도 내가 공수1 시험에서 봤던 문제들에서는 적분인자가 하나의 변수만의 함수였다. 그러므로 적분인자 F함수가 x 또는 y만의 함수임을 가정하고 정리하면 최종적으로
\(F(x) = e^{\int_{}^{}R(x)dx }, R(x) = \frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y} – \frac{\partial Q}{\partial x})\)
또는
\(F(y) = e^{\int_{}^{}R(y)dy }, R(x) = \frac{1}{P}(\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y})\)
이렇게 된다. 나는 x변수일때 큐피큐, y변수일때 피큐피 이렇게 외웠다.
적분인자를 구했으면 원래 정리된 미분방정식의 양 변에 곱하고 적분하고 미분하고 물고 빨다보면 답나온다.
선형상미분방정식
선형이 무엇인가에 대해 고민할 필요가 있다. 이게 고차 선형상미분방정식을 선형대수학적으로 이해하는데에 열쇠가 된다. 이거 이해하려고 개고생했다. 그러니 이 글을 읽는 사람들은 한방에 이해하길 바란다. 이거 진짜 중요하다.
여기서 또 골때리는게 군대를 갔다온 우리 친구들은 선형대수학을 문서상으로는 이수했는데 머릿속에는 없다라는 특징을 가지고 있다.
여기서 잠깐 끊고 유튜브에 3Blue1Brown이라고 검색하고 그 채널에서 “Essence of linear algebra” 시리즈 6강까지 보고 다시 돌아오자. 영상이 꽤 많긴한데 이거 안보면 내가 밟은 길을 여러분도 그대로 밟게된다. 한마디로 개고생한다. 일단 보고 오자.
선형성을 만족하는 방정식은 중첩의 원리가 적용된다.
책에는 무슨무슨 꼴의 대수적 형태로 정리가 되면 선형이다! 이런식으로 설명이 되어있는데 우리가 이해해야 하는건 이런게 아니고 이 미분방정식은 중첩의 원리가 적용된다는 것이다.
즉, 선형상미분방정식의 해는 기저들의 linear combination으로 나타낼 수 있다는 것이고 이는 고차 선형미분방정식의 풀이의 핵심이다. 미리 설명하면, 고차 항들 각각을 독립적으로 한번만 미분한 변수로 생각하고 그것들로 1차 선형미분방정식들의 선형연립방정식을 세운다. 그 연립방정식을 행렬곱으로 표현하고 거기서 나온 기저해들의 linear combination이 고차 미분방정식의 해 space(일반해)가 된다는 것이다. 여기서 나온 기저해들은 지수에 행렬을 달고 있는데 이러면 불편하니까 기저변환행렬에 해당하는 행렬의 고윳값을 구해서 행렬을 상수로 바꿔버린다. 그말은 곧 고차 미방을 풀려면 1차 선형미방의 해를 구할 줄 알아야 한다는 것이다.
어쨋든 저렇게 중첩의 원리가 적용되는 1계 상미분방정식은 대수적으로
\[y^\prime + p(x)y = r(x)\]
꼴이다.
여기서 r(x)가 해당 구간에서 0이면 제차, 0이 아니면 비제차이다.
제차의 경우, 변수분리 후 적분하면
\(y = ce^{-\int_{}{}pdx}\)
여기서, c가 0일 때 \(y = 0\)인 trivial solution이므로 모든 제차 선형미분방정식은 \(y = 0\)인 trivial solution을 포함한다고 할 수 있다.
비제차의 경우는
\(e^{\int_{}{}pdx}\)
라는 적분인자가 존재함이 이미 알려져 있고 이를 양변에 곱해서 변수분리 후 적분하면
Bernoulli 방정식
\[y = e^{-h}(\int_{}{}e^{h}rdx + c),h = \int_{}{}p(x)dx\]
비선형상미분방정식은 풀기 어렵다. 근데 그 중, Bernoulli 방정식의 꼴을 한 비선형상미분방정식의 경우는 적절한 치환을 통해 선형상미분방정식으로 변형할 수가 있다.
\[y^\prime + p(x)y = g(x)y^a\]
에서 \(u = y^{1 – a}\) 치환하면 선형상미분방정식의 꼴이 나오고 바로 위에서 정리한 공식을 이용할 수 있다.
끝
2계 미분방정식-Nonhomogeneous Differential Equation(미분연산자)
이번에는 조금 다른 개념을 가지고 와서 아주 쉽게 미분방정식의 특수해를 구하는 법에 대해서 정리하겠습니다.
미정계수법은 일단 어떠한 정해진 틀을 벗어날수 없다는 단점이 있습니다. 론스키안의 경우 시간이 너무 오래걸린다는 단점이 있죠
이런 단점을 보안하기 위해 미분 연산자를 사용하는 방법을 알려드리겠습니다.
미분 연산자란 무엇인가?의 질문을 하실것 같아서 설명을 앞서 드리고 특수해를 구하는 법을 공식화 시켜보겠습니다.
일단 미분 연산자란 D를 이용해 미분을 표현하는 것입니다.
즉
이와 같이 표현하는 방법입니다 여기서 D는 미분을 한다는 뜻의 연산자입니다.
이런 연산중에 1/D는 적분을 한다는 의미로 통할수도 있겠습니다.
이전에 했던 식을 그대로 활용해 보겠습니다.
이런식으로 변환시키는 것이지요. 정확히 말하면 미분 연산자를 이용한 표기법입니다.
이렇게 바꾸로 나서 특수해를 미분 연산자를 이용해 구하는 것입니다.
이런식으로 특수해를 구하는 것입니다
이때 특수해의 분모로 있는 미분 연산자의 식을 f(D) 로 표기 해서 이때의 f(D)와 R(x)의 모양에 따라서 특수해를 쉽게 구할수 있습니다.
아래의 공식을 보시면서 설명하도록 하겠습니다.
이전에 식을 그대로 활용해 위의 공식을 적용시키면 1번 경우에 해당합니다.
따라서
이렇게 간단히 미분연산자를 통해서 특수해를 해결할수가 잇습니다.
다항식의 경우를 확인해 보죠.
이런식으로 표시하여 미분을 다시해서 특수해를 구하는 것입니다. 혹여 분수를 어떻게 저런식으로 바꾼것이냐고 물어보신다면
그냥 여러분이 한번 초등학교때 배운것 처럼 나눠보시면 바로 확인 가능합니다. 예를 들어 1을 x+1로 나눠보죠
이런식으로 그냥 나눠서 몫을 구하는 것입니다
다시 풀이로 돌아가 분수를 나눠서 정리했다면 기존의 R(x)를 미분 연산을 통해서 그냥 구하면 특수해가 나옵니다.
다른 것도 확인해보죠 . 삼각함수의 경우를 봅시다.
이제 다항식도 지수함수도 삼각함수도 다뤄봤습니다 중근의 경우 역시 공식에 대입만 하면 쉽게 구할수 있죠 . 여러분이 가지고 있는 문제에서 위의 유형에 맞는 문제를 찾아서 위 방법으로 한번 풀어보시는 것도 공식을 익히는 좋은 방법이 되것입니다.
이러한 풀이를 통해 특수해를 쉽게 구할수 있는데 다음장에서 이런 특수해의 형태를 아예 딱 정해진 경우 그냥 특수해의 형태를 외우시는 것이 나을수가 있습니다.
몇가지 공식화 시켜놓고 외워두시면 시험같은거 볼때 매우 편하실 것입니다.
위에서 제가 설명한 방법들을 완전히 익히시고 나서 아래의 공식을 외우는 것을 추천드립니다. 위 내용을 적용시키지 못하는데, 공식으로만 하려하면 실수가 나올수 있기때문입니다.
1. R(x)가 다항식인 경우
중요한 것은 f(D)에서 상수항을 1로 만들고 위의 공식을 써야 됩니다.
2. 삼각함수의 경우
이런 미분 연산자를 이용해서 미분 방정식을 푸는 법도 있습니다.
제가 가장 많이 사용했던 방식이기도 하네요.
미분방정식의 풀이 정리
Exact Equation
Exact Differential: $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$일 때 $M(x, y)dx + N(x, y)dy=0$은 Exact Equation이 되며, 이 방정식의 해 $f$는 $\frac{\partial f}{\partial x} = M, \frac{\partial f}{\partial y} = N$을 만족한다.
$2xy \; dx + (x^2-1)\;dy=0$
$M = 2xy, N = x^2 -1 \quad \rightarrow \quad \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$이므로 Exact이다.
$M$을 $x$에 대해 적분하여 $f$를 구한다. $f(x, y) = \int M dx = x^2y + g(y)$
$f$를 $y$에 대해 편미분하여 $g(y)$를 구한다. $\partial f / \partial y = x^2+g'(y) = N= x^2-1 \quad \therefore g(y) = -y + C$
$\therefore f(x, y)=x^2y-y+C$
Integratic Factor: $M(x, y)dx + N(x, y)dy=0$이 Exact가 아닐 때, 양변에 $\mu (x) = e^{\int (M_y – N_x)/N dx}$ 또는 $\mu(y) = e^{\int (N_x-M_y)/M dy}$를 곱하면 Exact가 된다.
$xy \; dx + (2x^2+3y^2-20)dy = 0$
$M_y = x, N_x = 4x \quad \rightarrow \quad \frac{\partial M}{\partial y}
eq \frac{\partial N}{\partial x}$이므로 Exact가 아니며 적분인자가 필요하다.
$\mu(x) = e^{\int (x-4x)/(2x^2+3y^2-20)dx}$ (불능)
$\mu(y) = e^{\int (4x-x)/xy \;dy}=e^{\int 3/y \; dy} = y^3$ (가능)
양변에 $y^3$ 곱하면 $xy^4\; dx + (2x^2y^3-3y^5-20y^3)dy = 0$ 은 Exact이다. 이후 풀이는 위와 동일.
Solutions by Substitution
Homogeneous Function: $f(tx, ty) = t^\alpha f(x, y)$일 때 $f$를 동차함수라 하며, 동차함수인 $M, N$에 대해 $M(x, y)dx + N(x, y)dy=0$ 꼴의 미분방정식은 $y=ux$ 치환을 사용하면 Seperable이 된다.
$(x^2+y^2)dx + (x^2-xy)dy =0$
$M, N$이 동차임을 쉽게 확인할 수 있다.
$y=ux$로 치환하면 $(x^2+u^2x^2)dx + (x^2-ux^2)(udx+xdu)=0$
정리하면 $\frac{u-1}{u+1}du = \frac{1}{x}dx$
양변을 적분한 뒤 정리한 뒤 다시 $u=y/x$를 대입하면 $(x+y)^2=cx^{y/x}$를 얻는다.
Bernoulli Equation: $y’ + P(x)y = f(x)y^n$ 꼴의 미분방정식은 $u=y^{1-n}$ 치환을 사용하면 Linear이 된다.
$y’+y/x=xy^2$
$P(x) = \frac{1}{x}, f(x)=x, n=2$ 꼴의 베르누이이므로 $u=y^{-1}$ 치환을 이용한다.
치환 후 식을 정리하면 $\frac{du}{dx} -u/x = -x$. 선형미방이므로 적분인자 $e^{\int P(x)dx}=x^{-1}$을 이용.
$\frac{d}{dx}[x^{-1}u] = -1$. 적분한 뒤 다시 $y$를 대입하면 $y=1/(-x^2+cx)$를 얻는다.
Fundamental Set of Solutions
Homogeneous Linear: $a_n(x)y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_0(x)y(x)=0$의 모든 해는 $y(x)=c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x)$로 나타낼 수 있으며 집합 $\lbrace{y_1, \cdots y_n\rbrace}$을 FSS라 한다.
Wronskian: $W
eq 0$이면 선형독립
$$
W={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)&\cdots &y_{n}(x)\y_{1}'(x)&y_{2}'(x)&\cdots &y_{n}'(x)\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \y_{1}^{(n-1)}(x)&y_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}
$$
HL의 근 찾기
Reduction of Order: HL에서 $y_1$을 알 때 $y=u(x)y_1$으로 치환
$$
y” + P(x)y’ + G(x)y = 0 \quad \Rightarrow \quad y_2 = y_1\int {e^{-\int P dx}}/{y_1^2}dx
$$
$y_1 = e^x$가 $y” – y = 0$의 한 해임이 알려져 있을 때,
$y = u(x)y_1$으로 치환하여 차수를 줄이자.
$y’ = ue^x+e^xu’, y” = ue^x+2e^xu’+e^xu”$
$\therefore y”-y = e^x(u”+2u’)= 0 \quad \rightarrow \quad w’+2w=0 \quad (w=u’)$
선형미방이 되었으므로 적분인자 $e^{2x}$를 활용해 $w=c_1e^{-2x}$를 얻을 수 있다.
양변을 적분하면 $u = -\frac{1}{2}c_1e^{-2x}+c_2$이며, 구하고자 하는 $y$는
$y = C_1e^{-x}+C_2e^x$임을 알 수 있다. (FSS는 $e^{-x}$와 $e^x$)
Constant Coefficient HL: 특성방정식($y^{(n)}\rightarrow t^n$)의 근이 $m$일 때 $y=e^{mx}$ $k$중근인 경우 $e^{mx}, xe^{mx}, \cdots, x^{k-1}e^{mx}$
허근 $\alpha \pm \beta i$인 경우 오일러 공식 사용 $$
y=c_1e^{\alpha x}\cos{\beta x}+c_2e^{\alpha x}\sin{\beta x}
$$
$y^{(4)}+2y^{(2)}+y=0$
특성방정식 $m^4+2m^2+1$의 근은 $i, -i$이며 각각 이중근이다.
따라서 FSS는 $e^{ix}, xe^{ix}, e^{-ix}, xe^{-ix}$이다.
$e^{ix}$와 $e^{-ix}$의 선형결합은 $c_1 \cos x + c_2 \sin x$이다.
따라서 $y=c_1 \cos x + c_2 \sin x+x(c_3 \cos x + c_4 \sin x)$이다.
NHL의 근 찾기
Nonhomogeneous Linear: HL의 근 $y_c$ + 특성근(직관으로 유추 후 계수비교) $y_p$
$$
y=y_c+y_p
$$
$y” + 4y’ – 2y = 2x^2 -3x + 6$
먼저 HL $y” + 4y’ – 2y =0$의 해를 구한다.
특성방정식의 근이 $m=-2 \pm \sqrt{6}$이며, $y= c_1e^{-2-\sqrt{6}}+c_2e^{-2+\sqrt{6}}$이다.
그다음 NHL $y” + 4y’ – 2y = 2x^2 -3x + 6$의 특성근을 찾는다.
우변이 이차식이므로 $y_p=Ax^2 + Bx + C$임을 유추할 수 있다.
계수비교를 통해 $A=-1, B=-\frac{5}{2}, C=-9$를 얻는다.
따라서 $y = c_1e^{-2-\sqrt{6}}+c_2e^{-2+\sqrt{6}} -x^2 -\frac{5}{2}x -9$가 근이다.
몇 가지 $g(x)$의 값과 그에 따른 특성근 $y_p$의 유추
($p_n(x), q_n(x), r_n(x)$는 차수가 $n$인 다항식을 의미함)
$g(x)$ $y_p$의 꼴 $C_1$ $C_2$ $p_n(x)$ $q_n(x)$ $\sin nx$ $A \sin nx + B \cos nx$ $e^{nx}$ $Ae^{nx}$ $p_n(x)e^{mx}\sin {lx}$ $q_n(x)e^{mx}\sin lx + r_n(x)e^{mx}\cos lx$
Tip1: 중첩원리를 활용해 $y_p$를 구하자. 예를 들어서 $g(x)=x+e^x$일 때, $g_1(x) = x$의 특성근과 $g_2(x)=e^x$의 특성근을 선형결합하면 $g(x)$의 특성근이 된다.
Tip2: $y_p$에 $y_c$와 겹치는 항이 있다면 $y_p$에 $x^n$을 곱하여 중첩을 막아야 한다. 여기서 $n$은 $y_p$가 $y_c$와 겹치는 항이 없도록 하면서 $y_p$가 미분방정식의 해가 되도록 하는 가장 작은 정수이다. (예: $y”-2y’+y=e^x$)
2차 선형 미분방정식을 푸는 방법
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먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자.
2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자.
$$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$
이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자.
$$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$
이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다.
$$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$
이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or characteristic equation)이라 부른다. 특성 방정식으로 옮기는 책이 더 많아 보인다.
정리 특성방정식이 $r_1,r_2$를 근으로 가진다면 일반해는 $y=c_1 e^{r_1x}+c_2 e^{r_2x}$이다.
$$e^{\alpha i}=\cos\alpha+i\sin\alpha$$
임을 알고 있다면 특성방정식이 허근을 가지는 것을 두려워할 필요가 없다.
여기서 특성방정식이 3차나 4차라면 일반적인 풀이법을 찾을 수 있지만 5차 이상은 매우 어려울 것임을 알 수 있다.
보기 1
미분방정식 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0$을 풀어보자.
동차인 2차 선형 미분방정식이다. 계수가 모두 상수이므로 $y=e^{rx}$로 놓자. 특성 방정식을 먼저 풀어서 두 근 $r_1=2,\;\;r_2=-1$을 찾는다. 일반해는 $y=c_1 e^{2x}+c_2e^{-x}$이다.
보기 2
단순 조화진동자(simple harmonic oscillator) 문제를 해결해 보자.
주어진 힘이 $F$만 있다면 훅의 법칙에 따라 아래와 같은 방정식이 성립한다.
$$F=-kx$$
뉴턴 운동법칙에 따라서 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$F=m\mathbf{a}=m\ddot{\mathbf{x}}=-k\mathbf{x}$$
$$\ddot{\mathbf{x}}+\frac{k}{m}\mathbf{x}=0$$
여기서 계산을 편하게 하기 위해 $\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}$라고 하면 아래와 같이 간단한 꼴로 정리할 수 있다.
$$\ddot{\mathbf{x}}+\omega^2 \mathbf{x}=0$$
특성 방정식의 해는 $\omega i, -\omega i$이므로 일반해는 아래와 같다.
$$x(t)=c_1 e^{\omega t i}+c_2e^{-\omega t i}=c_1(\cos\omega t+i\sin\omega t)+c_2(\cos(-\omega t)+i\sin(-\omega t))$$
$$x(t)=(c_1+c_2) \cos\omega t+(c_1i-c_2i)\sin \omega t$$
여기서 $c_1-c_2=C_1,\;\;c_1-c_2i=C_2$라 한다면 일반해를 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$x(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega=A\sin(\omega t +\phi)$$
$$A=\sqrt{C_1^2 +C_2^2}\quad \sin \phi=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2 +C_2^2}}$$
알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법
계수가 상수 함수가 아니라면 어떻게 해결할까? 일반적으로 미분방정식의 차수를 낮추는 방법으로 알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법을 정리해 보자.
$$a_2(x)y^{\prime\prime}+a_1(x)y^{\prime}+a_0(x)y=0\tag{1}$$
$a_2(x)
ot=0$로 나누어 아래와 같은 꼴로 정리하자.
$$y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0\tag{2}$$
이때, $y_1$이 해라고 하고 $y_2=u(x)y_1$가 다른 해라고 가정하자.
$$\begin{split}y_2^{\prime}&=u^{\prime}(x)y_1+u(x)y_1^{\prime} \\y_2^{\prime\prime}&=u^{\prime\prime}(x)y_1+ u^{\prime}(x)y_1^{\prime} + u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \\ &= u^{\prime\prime}(x)y_1 +2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \end{split}$$
(2)에 대입하자.
$$[u^{\prime\prime}(x)y_1+2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime}]+Px)[u^{\prime}(x)y+u(x)y_1^{\prime}]+Q(x)u(x)y_1=0$$
이 식을 정리하면 아래와 같다.
$$y_1u^{\prime\prime}(x)+[2y_1^{\prime}+P(x)y_1]u^{\prime}(x)+u(x)[\underbrace{y_1^{\prime\prime}+P(x)y_1^{\prime}+Q(x)y_1}_{0}]=0$$
여기서 $v(x)=u^{\prime}(x)$로 치환하여 정리하자.
$$y_1 v^{\prime}(x)+[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)=0$$
$$y_1 v^{\prime}(x)=-[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)$$
$$\frac{v^{\prime}(x)}{v(x)}=-\frac{2y_1^{\prime}}{y_1}-{P(x)}$$
이 방정식은 1차 선형 미분방정식이다. 변수가 따로 분리되는 꼴이므로 풀이가 쉽다.
$$\ln |v(x)|=-2\ln |y_1|-\int {P(x)}dx+c$$
$$v(x)=u^{\prime}=\frac{c_1}{y_1^2}\cdot e^{-\int P(x)dx}$$
$$u(x)=c_1\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx+c_2$$
$$y=u(x)y_1(x)=c_1y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}+c_2y_1(x)$$
$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.
$$y_2=y_1(x)\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}\tag{3}$$
$$W(y_1(x),y_2(x))= \begin{vmatrix} y_1 & y_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \\ y^{\prime}_1 & \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1}+ y^{\prime}_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \end{vmatrix} = e^{-\int P(x)dx}
ot=0$$
두 함수는 서로 독립이다.
$\blacksquare$
보기 3
미분방정식 $y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0$를 풀어 보자.
특성 방정식은 $2$을 해로 가지므로 $y_1=e^{2x}$는 해가 된다.
이제 $y_2=u(x)e^{2x}$를 또 다른 해라고 하자.
$$\begin{split} y_2^{\prime} &= u^{\prime}(x) e^{2x} + 2u(x) e^{2x} \\ y_2^{\prime\prime}&= u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 2u^{\prime} e^{2x} +2 u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} \end{split}$$
$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 4u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} – 4 [u^{\prime}(x) e^{2x}+2 u(x) e^{2x} ]+ 4u(x) e^{2x} =0 $$
$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} =0 $$
$$u^{\prime}(x)= c_1$$
$$u(x)=c_1x+c_2$$
$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.
$$\therefore\quad y_2= x e^{2x}$$
이것을 (3)을 써서 바로 구할 수 있다.
$$W(e^{2x}, x e^{2x})=\begin{vmatrix} e^{2x} & x e^{2x}\\ e^{2x} & e^{2x}+ 2x e^{2x} \end{vmatrix}=e^{4x}
ot=0$$
두 함수 $y_1, y_2 $는 서로 독립이다.
일반해를 정리하면 $y=C_1 e^{2x}+C_2 xe^{2x}$이다.
일단 정리하고 가자.
미분방정식 $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+c=0$$ 의 특성 방정식은 $$am^2 +bm+c=0$$ 이다. 다음과 같이 해를 결정한다. i} 서로 다른 두 실근 $m_1,\;\;m_2$를 가질 때 $y_1=e^{m_1 x}$과 $y_2=e^{m_2 x}$이다. 그러므로 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 e^{m_2x}$이다. ii) 두 근이 $m_1=m_2$로 같다면 $y_1=e^{m_1x}$이고 $2m_1=-b/a$이다. 따라서 $$y_2= e^{m_1x} \int \frac {e^{-(b/a)dx} }{e^{2m_1x}}dx=e^{m_1x}\int \frac{e^{2m_1 x}}{e^{2m_1 x}}dx=xe^{m_1x}$$ 이다. 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 x e^{m_1x}$이다. iii) 허근 $m_1=\alpha+i \beta$와 $m_2=\alpha-i \beta$를 가질 때, 일반해는 $y=C_1 e^{(\alpha+i\beta)} +C_2e^{(\alpha-i \beta )}$이다.
3차 이상인 특성 방정식을 가질 때도 인수분해가 된다면 위에 정리한 바를 써서 쉽게 해를 구할 수 있다.
보기 4
다음 미분방정식을 풀어보자. $$y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}-4y=0$$
특성 방정식은 아래와 같다.
$$m^3 +3m^2-4=0$$
$$(m-1)(m^2 +4m+4)=(m-1)(m+2)^2=0$$
일반해는 아래와 같다.
$$y=c_1 e^x +c_2 e^{-2x}+c_3 x e^{-2x}$$
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