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실수 전체 적분 값 증명2.1.2. 정규 분포 곡선의 성질. 2.2. 누적 분포 함수2.3. 그래프2.4. 중심 극한 정리. 3. 표준 정규 분포4. 로그 정규 분포5.
Source: namu.wiki
Date Published: 8/29/2022
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주제에 대한 기사 평가 정규 분포 그래프
- Author: 수악중독
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- Date Published: 2016. 1. 23.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=3bzPi4JCgoM
[통계] 정규분포; 정규분포 그래프 성질; 종 모양 그래프; 종 모양 곡선; 종 모양 분포; 종 모양 곡선 높이; bell curve; Normal Distribution
[정규분포 곡선의 성질]
정규분포 N(m, σ2)을 따르는
확률변수 X의
정규분포 곡선은
다음과 같은 성질이 있습니다.
[1]직선 x = m 에 대하여 대칭인
종 모양의 곡선이고,
점근선은 x축이다.
[2]곡선과 x축 사이의
넓이는 1 이다.
[3]σ 의 값이 일정할 때,
m 의 값이 달라지면
대칭축의 위치는 바뀌지만
곡선의 모양은 변하지 않는다.
[4]m 의 값이 일정할 때,
σ 의 값이 커지면
곡선은 가운데 부분의 높이는 낮아지고
양쪽으로 넓게 퍼진 모양이 된다.
그래프 그려주는 사이트 applet
통계학과인데 그래프 그리는 감이 없는 분들 이리 오세요
컴퓨터 프로그램이 다 그려준답니다.
1.정규분포
http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets/normal.html
2.초기하분포
http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets/hg.html
3.이항분포
http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets/bin.html
4.로그분포
http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets/lognormal.html
5.감마분포
http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets/gamma.html
6.지수분포
http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets/exp-like.html
7.카이스퀘어 분포
http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets/chisq.html
8.베타분포
http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets/beta.html
9.포아송분포
http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets/pois-like.html
#내가 적은 수식을 그려주는 사이트
https://www.desmos.com/calculator
[Python] 정규분포 그래프 시각화
오늘은 정규분포 그래프를 matplotlib을 사용하여 시각화해보겠습니다.
정규분포의 사전적 정의는 다음과 같습니다.
도수(度數) 분포 곡선이 평균값을 중앙으로 하여 좌우 대칭으로 종 모양을 이루는 분포.
정규분포의 평균값에는 많은 데이터가 모여있기 때문에 다른 값들보다 높고 정규분포가 퍼진 정도는 표준편차에 의해 결정됩니다.
표준정규분포는 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포입니다.
그럼 이제 정규분포 그래프를 시각화해보도록 합시다.
확률밀도함수
정규분포 그래프는 확률밀도함수에 의해 그려집니다.
확률밀도함수란 특정한 값의 확률을 나타내기 위한 함수입니다.
확률밀도함수를 통해 정규분포 그래프를 그릴 수 있습니다.
확률밀도함수는 다음과 같습니다.
확률 밀도 함수
하지만 정규분포 곡선을 그리기 위해 항상 위의 식을 대입해야 하는 것은 아닙니다.
파이썬의 “scipy”라는 라이브러리에 확률 밀도 함수를 자동으로 계산해주는 기능이 있습니다.
import matplotlib.pyplot as plt #1 import numpy as np #2 from scipy.stats import norm #3 x = np.arange(0, 20, 0.001) #4 plt.figure(figsize=(15,10)) #5 plt.title(‘Normal Distribution’) #6 plt.xlabel(‘x’) #7 plt.ylabel(‘f(x)’) #8 plt.grid() #9 plt.plot(x, norm.pdf(x, loc=10, scale=2)) #10 plt.show() #11
그래프를 그리도록 도와주는 “matplotlib” 라이브러리의 모듈을 가져옵니다. 보통 행렬 관련 계산을 도와주는 “numpy” 모듈을 가져옵니다. 여러 가지 수학적 계산을 도와주는 “scipy” 라이브러리의 모듈을 가져옵니다. 0부터 20 이전까지의 수를 0.001 단위로 쪼개어서 array배열 형식으로 저장합니다. 그래프의 사이즈를 가로 15인치, 세로 10인치로 설정합니다. 제목을 “Normal Distribution”으로 설정합니다. x축 이름을 “x”로 지정합니다. y축 이름을 “f(x)”로 지정합니다. 그래프에 격자무늬를 넣습니다. x축에는 아까 만들었던 “x”변수를, y축에는 x를 평균(loc)이 10이고 표준편차(scale)가 2인 확률밀도함수로 계산한 값을 넣습니다. 그래프를 출력합니다.
출력 결과는 다음과 같습니다.
출력 결과
확률밀도함수를 직접 계산하지 않고 “norm”모듈의 “pdf”함수를 사용하여 그래프를 만들어 보았습니다.
“pdf”는 “probability density function”의 약자로 확률밀도함수를 의미합니다.
표준정규분포는 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포이기 때문에 또한 위와 같은 방식으로 만들 수 있습니다.
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from scipy.stats import norm x = np.arange(-4, 4, 0.001) plt.figure(figsize=(15,10)) plt.title(‘Standard Normal Distribution’) plt.xlabel(‘x’) plt.ylabel(‘f(x)’) plt.grid() plt.plot(x, norm.pdf(x, loc=0, scale=1)) plt.show()
“pdf”함수의 평균(loc)에는 0을, 표준편차(scale)에는 1을 넣어주기만 하면 됩니다.
그래프의 대칭성을 보이기 위해 x의 배열은 -4부터 4 이전까지로 지정했습니다.
표준정규분포이기 때문에 그래프의 이름 앞에 “Standard”를 붙여주었습니다.
출력 결과는 다음과 같습니다.
출력 결과
평균이 0이기 때문에 0을 중심으로 대칭인 모습입니다.
표준편차가 이전보다 작아졌기 때문에 좀 더 완만한 모양을 보이는 것을 알 수 있습니다.
누적분포함수
누적분포함수는 특정한 구간의 확률을 나타내는 함수입니다.
정규분포 그래프를 적분하여서 구할 수 있습니다.
누적분포함수 또한 “scipy” 라이브러리를 사용하여 구할 수 있습니다.
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from scipy.stats import norm x = np.arange(-4, 4, 0.001) plt.plot(x, norm.pdf(x, loc=0, scale=1)) plt.title(“Standard Normal Distribution”) plt.xlabel(‘x’) plt.ylabel(‘f(x)’) plt.grid() cum = np.arange(-1, 1, 0.01) #1 plt.fill_between(cum, norm.pdf(cum), alpha=0.5, color=’g’) #2 pro = norm(0, 1).cdf(1) – norm(0, 1).cdf(-1) #3 plt.text(0, 0.02, round(pro,2), fontsize=20) #4 plt.show()
확률 값을 구할 특정 구간의 범위를 설정합니다. -1부터 1 이전까지의 범위를 구해봅시다. 누적분포함수 값을 그래프에 나타내기 위해 특정 구간의 표준정규분포곡선 아래 영역에 색을 채워 넣습니다. alpha값은 투명도를 나타내고 0부터 1까지의 값을 넣을 수 있으며 1에 가까울수록 투명도가 낮습니다. 색깔은 초록색으로 설정합니다. -1과 1 사이의 누적분포함수 값을 구하기 위해 평균이 0이고 표준편차가 1인 그래프에서 1까지의 누적분포함수 값에서 -1까지의 누적분포함수 값을 빼줍니다. 그래프의 x축 0, y축 0.02의 위치에 -1과 1사이의 누적분포함수 값에서 소수점 2의 자리까지 반올림한 값을 사이즈 20의 크기로 넣습니다.
출력 결과는 다음과 같습니다.
출력 결과
누적분포함수값을 “norm” 모듈의 “cdf” 함수를 사용하여 계산하였습니다.
“cdf”는 “cumulative distribution function”의 약자로 누적분포함수를 의미합니다.
-1과 1 사이의 확률 값은 그래프에 초록색으로 나타낸 부분의 넓이이고 그 넓이는 0.68입니다.
표준정규분포에서 랜덤한 한 데이터를 추출할 때 -1과 1 사이의 값일 확률이 약 68%라는 뜻입니다.
참고로 -2부터 2까지의 구간에 속한 누적분포함수 값은 약 0.95이고, -3부터 3까지의 구간에 속한 누적분포함수 값은 약 0.997입니다.
오늘은 matplotlib을 사용하여 정규분포 그래프를 그려보았습니다.
직접 실행해 볼 수 있도록 밑에 코랩 링크 남겨놓습니다.
https://colab.research.google.com/drive/1-OfbwWtq4s_FKDVVWfGwakrPZkaSE2go?usp=sharing
위키백과, 우리 모두의 백과사전
확률론과 통계학에서 정규 분포(正規 分布, 영어: normal distribution) 또는 가우스 분포(Gauß 分布, 영어: Gaussian distribution)는 연속 확률 분포의 하나이다. 정규분포는 수집된 자료의 분포를 근사하는 데에 자주 사용되며, 이것은 중심극한정리에 의하여 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다.
정규분포는 2개의 매개 변수 평균 μ {\displaystyle \mu } 과 표준편차 σ {\displaystyle \sigma } 에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})} 로 표기한다. 특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 N ( 0 , 1 ) {\displaystyle \mathrm {N} (0,1)} 을 표준 정규 분포(standard normal distribution)라고 한다.
역사 [ 편집 ]
정규분포는 아브라암 드무아브르가 1733년 쓴 글에서 특정 이항 분포의 n {\displaystyle n} 이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《우연의 교의》(The Doctrine of Chances) 2판(1738년)에 다시 실렸다. 피에르시몽 라플라스는 그의 저서 《확률론의 해석이론》(Théorie analytique des probabilités)(1812년)에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다.
라플라스는 실험 오차를 분석하면서 정규분포를 사용했다. 1805년에는 아드리앵마리 르장드르가 매우 중요한 방법인 최소제곱법을 도입했다. 카를 프리드리히 가우스는 이 방법을 1794년부터 사용해왔다고 주장했는데 1809년에는 실험 오차가 정규분포를 따른다는 가정하에 최소제곱법을 이론적으로 엄밀히 정당화했다.
성질 [ 편집 ]
정규분포에서는 기댓값, 최빈값, 중앙값이 모두 μ {\displaystyle \mu } 기댓값은 다음과 같이 계산할 수 있다.
x ¯ = ∫ − ∞ ∞ x σ 2 π exp [ − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ] = 2 σ π ∫ − ∞ ∞ y exp [ − y 2 ] d y + μ π ∫ − ∞ ∞ exp [ − y 2 ] d y {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left[-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\\&={\frac {{\sqrt {2}}\sigma }{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }y\exp[-y^{2}]dy+{\frac {\mu }{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp[-y^{2}]dy\end{aligned}}}
위에서 첫 번째 적분은 홀함수의 적분으로 0이고 두 번째 적분은 가우스 적분으로 적분값이 π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} 로 잘 알려져 있다. 따라서 기댓값은 μ {\displaystyle \mu } 다.
정규분포는 절대근사한다.
정규분포는 평균과 표준편차가 주어져 있을 때 엔트로피를 최대화하는 분포이다.
정규분포곡선은 좌우 대칭이며 하나의 꼭지를 가진다.
정규분포는 중앙치에 사례 수가 모여있고, 양극단으로 갈수록 X축에 무한히 접근하지만 X축에 닿지는 않는다.[2]
표준 정규 분포 [ 편집 ]
정규 분포 밀도 함수에서 Z = X − μ σ {\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}} 를 통해 X(원점수)를 Z(Z점수)로 정규화함으로써 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 얻을 수 있다.
z-분포라고도 부른다. z-분포로 하는 검정(test)을 z검정(z-test)이라고 한다.
불확실성 [ 편집 ]
P [ μ − k σ < X < μ + k σ ] {\displaystyle P[\mu -k\sigma
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