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** 귀류법 : 결론을 부정하여 가정에 모순됨을 보이는 방법
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루트2는 무리수이다 증명 – 네이버 블로그
고등학교 1학년 때 배우는 무리수 파트중 가장 중요한 부분 중 하나인. . “루트2는 무리수이다.”의 증명입니다. . 일단, 가장 기본적인 방법, …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 1/1/2021
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[귀류법] 루트2가 무리수임을 증명. 무조건 이해되는 설명.
[귀류법] 루트2가 무리수임을 증명. 무조건 이해되는 설명. … 귀류법 : 명제의 부정이 맞다고 가정해서 모순임을 보이는 방법. 말이 어렵죠? 특히나 증명 …Source: ladyang86.tistory.com
Date Published: 9/14/2022
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√2 – 나무위키
무리수라는 사실이 증명된 최초의 수이기도 하다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이이며, 방정식 …
Source: namu.wiki
Date Published: 11/23/2021
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무리수, 루트 2 – 브런치
무리수, 루트 2 · 루트2는 무리수? · 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799.
Source: brunch.co.kr
Date Published: 6/15/2021
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제곱근 2 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
에우클레이데스는 《원론》에서 2의 제곱근이 무리수라는 사실을 귀류법을 통하여 증명하였다.
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 9/2/2021
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루트2는 무리수이다 – 수학노트
도 수다. 증명. √2를 유리수라 한다면, 분수 꼴의 형태로 나타낼 수 있다. 임의의 정수 …
Source: wiki.mathnt.net
Date Published: 2/27/2022
View: 7410
루트 2가 무리수임을 n가지 방법으로 증명해보기
기본적으로는, 유리수라는 걸 가정하고, 어찌어찌하다가, 모순을 이끌어내서 유리수라는 가정이 틀렸다는 것으로부터 \(\sqrt{2}\)가 무리수임이 증명된다 …
Source: 16silver.tistory.com
Date Published: 3/1/2022
View: 1170
루트 2 무리수 증명 – 상식체온
루트 2 값을 계산하는 방법에 관해서 지난 시간에 알아보았는데, … 따라서, 루트 2가 유리수가 아닌, 즉 무리수임을 증명하기 위해서는 “유리수와 …
Source: nous-temperature.tistory.com
Date Published: 7/17/2022
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주제에 대한 기사 평가 루트 2 무리수 증명
- Author: 수학귀신
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- Date Published: 2021. 3. 4.
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루트2는 무리수이다 증명
루트2는 무리수이다 증명
고등학교 1학년 때 배우는 무리수 파트중 가장 중요한 부분 중 하나인
“루트2는 무리수이다.”의 증명입니다.
일단, 가장 기본적인 방법, 제가 고등학교 다닐 때 교과서에 나왔던 방법입니다.
는 유리수가 아니다.
-> 는 유리수이다. (귀류법을 사용합니다. 귀류법이란 증명하고자 하는 명제의 진위를 가정해서 모순을 이끌어 내는 증명법입니다.)
는 유리수 이므로 다음을 만족하는 정수 a,b가 존재 한다.
양변을 제곱하고 정리를 하면
은 짝수 이므로 도 짝수이다.
이 짝수 이므로 도 짝수이다.
그러므로 로 나타낼수 있다.
을 에 대입하면 이 성립한다.
이 짝수 이므로 도 짝수이다.
이 짝수이므로 도 짝수이다.
와 가 짝수이므로 , 는 서로소가 아니다.
따라서 ” , 는 서로소”와 모순이다.
즉, 는 유리수가 아니다.
두번째 방법은 제가 여러책을 읽으면서 여러 증명을 봤는데. 고등학교 때 수행평가에 이게 나와서 서로소라는 말을 안적고 푸는 방법을 적었다가 선생님이 다른 답인줄 모르고 틀렸다고 했었던 증명이라 적어봅니다.
서로소를 사용하지 않고 풀어보겠습니다.
방법은 위와 비슷합니다. 귀류법을 상용합니다.
는 유리수 이므로 다음을 만족하는 정수 a,b가 존재 한다. 양변을 제곱하고 정리를 하면
제곱을 소인수분해를 할 경우 각각의 소인수들이 짝수개가 나오게 됩니다.
좌변과 우변을 비교해봅니다.
그러면 좌변에는 2가 홀수개(짝수+1=홀수), 우변은 짝수개가 나오게됩니다.
소인수 분해의 일의성에 따라 좌변과 우변의 소인수의 개수는 소인수별로 모두 일치해야합니다.
따라서, 루트2가 유리수라는 가정은 모순이 됩니다.
[귀류법] 루트2가 무리수임을 증명. 무조건 이해되는 설명.
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귀류법 : 명제의 부정이 맞다고 가정해서 모순임을 보이는 방법.
말이 어렵죠? 특히나 증명 과정에서 분수로 두고 정리하고.. 어렵습니다. 오늘은 이렇게 어려운 귀류법을 좀 쉽게 설명해보도록 할게요. 포스팅 다 읽을 때 쯤이면 증명도 하고 있는 나의 모습을 발견할 수 있을 거에요!
루트2가 무리수인걸 직접 보이기는 어렵습니다.
왜냐면 무리수는 순환하지 않는 무한소수거든요.
순환하지 않는 무한소수인걸 직접 보이려면… 엄.. 무한히 가는 숫자인걸 직접 보여줘야 하는데.. 말이 안되죠?
그럼 어떻게 할까 고민해봅시다. 여기서 사용되는 게 귀류법입니다.
유리수라 했더니 말이 안됨. 유리수 아니니까 무리수임! 이렇게 증명하는 것이죠.
이런 상황을 생각해봅시다.
어느날 내가 살인자로 몰렸다. 경찰이 내가 유력한 용의자라며 살인자가 아닌 걸 증명하라고 했다.
아니.. 슈밤.. 아닌 걸 어떻게 증명해.
그래서 나는 이렇게 말했다.
형사 아저씨, 내가 만약 살인자라고 가정해봅시다. 그런데 저는 그 시간에 수업을 하고 있었다구요. 여기여기 증거와 증인이 있어요. 형사 아저씨 말대로 제가 살인자라고 하면 말이 안되죠? 그러니 저는 결백해요.ㅇㅋ?
이런 과정이 귀류법입니다.
나는 무죄다. 근데 결백하다는 걸 직접 증명하는 건 힘드니, 너의 주장대로 내가 범인이라고 가정해보자. 근데 그러면 모순이 나온다. 즉, 내가 범인이라면 말이 안되니까 나는 무죄다. 라고 증명하는 게 귀류법인거죠.
다시 원래의 증명법으로 돌아가봅시다.
루트2가 무리수임을 증명하라!!
무리수는 순환하지 않는 무한 소수죠.
아니.. 그럼 나눠서 무한히 나오는 걸 증명해야 하잖아?
말이 안됩니다. 그러니, 무리수가 아니라고 하면(유리수라고 가정하면) 말이 안되니까(모순이니까) 참임을 보입시다.
루트2가 유리수라고 가정하자.
그럼 서로소인 분수로 표현이 된다.
근데 정리해보니 서로소가 아니네?
이건 앞에서 서로소라고 말한거에 모순이다.
그러니까 유리수가 아니다.
이런 과정입니다.
이제 이걸 식으로 써봅시다.
이제부터 식을 정리해보니 서로소가 아니라는 걸 보여줄겁니다.
그러니 반드시 처음에 a,b는 서로소인 정수라고 가정해야
나중에 모순이라고 말할 수 있겠죠?
이제는 식을 정리하는 과정에서 서로 2의 배수라는걸 보여줄 거에요.
정리를 해보니 b가 2의 배수로 나왔네요. 그죠?
아까 a,b는 서로소라고 가정했는데 둘 다 짝수가 나왔군요. 말이 안됩니다. 모순이죠.
즉, 유리수라고 가정했는데 말이 안되므로 무리수입니다.
루트3이나 루트5의 경우도 마찬가지로 증명하시면 됩니다. 유리수라고 가정하면 서로소인 정수의 비로 나타낼 수 있는데, 식을 정리해보니 둘 다 3의 배수/5의 배수가 나와서 서로소에 모순이라고 보는 것이죠.
이해가 잘 되셨나요?
이 부분은 명확한 식까지 처음에 다 못외운다면, 큰 흐름이라도 먼저 보시는 게 좋습니다.
그럼 다음에도 쉬운 설명 들고 올게요~!
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무리수, 루트 2
루트2는 무리수?
우리가 살면서 최소한 한 번쯤(중, 고등학생 시절) 혹은 그 이상 여러번 들어봤을 가능성이 조금은 있는 숫자라고 생각한다. 루트2. 아무 생각없이 내뱉으며 계산하는 숫자이기도 하고, 솔직히 살면서 거의 사용할 일도 거의 없고 관심이 있는 사람도 극소수인 건 사실이다. 그럼에도 불구하고 오늘 루트2에 대해서 한 번 얘기를 해보려 한다.
먼저 제곱근을 알아야 한다. 제곱근이란 어떤 수 a가 존재할 때, 제곱하여 a가 되는 수를 제곱근이라고 한다. 일반적으로 양의 실수 a의 제곱근은 두 개가 존재한다(양의 제곱근, 음의 제곱근). 오늘 함께 나눌 루트2는 따라서 2의 제곱근이 되는 것이다(루트2를 제곱하면 2가 되므로).
루트 x
2의 제곱근인 루트2는 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수이다. 기하학에서 피타고라스 정리에 따르면 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이로 루트2를 나타낼 수 있다. 루트2에 대한 근사값으로는 99/70이 쓰인다. 이 값은 2의 제곱근 참값과의 사이에 오차가 0.00001로 매우 정확한 표현법이다. 실제 2의 제곱근 값은 순환되지 않는 무한소수로 소수점 이하 65자리까지의 근사값(OEIS 수열 A002193)은 다음과 같다.
1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799
2의 제곱근이 무리수라는 사실은 고대 그리스 시기부터 잘 알려져 있다. 에우클레이데스는 <원론>에서 2의 제곱근이 무리수라는 사실을 *귀류법을 통하여 증명하였다.
귀류법 : 어떤 명제를 증명하고자할 때, 그 명제의 결론을 부정함으로써 공리의 모순됨을 보여 간접적으로 결론이 참임을 증명하는 방법
바빌로니아 점토판에서의2의 제곱근 근삿값
예일대학교 소장목록 7289인 바빌로니아 점토판에는 2의 제곱근의 근삿값을 다음과 같이 계산하고 있다.
고대 인도 시대 2의 제곱근계산법
또한 고대 인도의 수학책 <술바수트라>에서는 2의 제곱근의 근삿값을 다음과 같이 계산하고 있다.
직각삼각형에서 빗변의 길이를 Z, 다른 변의 길이를 각각 X, Y라고 하면,
피타고라스 정리에 따라 다음과 같은 식이 성립한다. 이제 빗변이 아닌 두 변의 길이가 1인 직각 삼각형의 빗변의 길이를 계산할 수 있다.
피타고라스 정리에 의한 빗변이 아닌 두 변의 길이가 각각 1일 때, 빗변의 길이 계산
고대 그리스 수학자 피타고라스 학파인 히파수스는 이 계산에서 나타나는 2의 제곱근을 기약분수로 나타낼 수 없다는 사실을 발견하였다. 그런데 피타고라스 학파에서는 자연수와 이의 비로 나타낼 수 있는 기약분수, 즉 유리수만을 진정한 수로 취급하였기 때문에 무리수의 존재를 인정하지 않았고, 무리수를 인정하는 것은 금기로 여겨졌다. 히파수스는 무리수의 존재를 세상에 알렸다는 이유로 이단 취급을 받았으며, 일설에 의하면 피타고라스 학파에 의해 죽임을 당하였다고 한다. 무리수라는 이름은 피타고라스 학파의 수에 대한 이러한 가치관이 반영된 것이다.
반면, 헬레니즘 시기 알렉산드리아의 수학자 에우클레이데스는 2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하였다. 에우클레이데스는 <원론>에서 귀류법을 이용하여 2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하였는데, 그 증명과정은 다음과 같다.
수학자 히파수스는 그 당시까지만 해도 루트2라는 길이를 그 어떤 수로도 나타낼 수 없음을 증명하였다. 그것은 새로운 수의 세계가 존재한다는 얘기였다. 우리도 어쩌면 표현할 수 없는 새로운 수의 세계 안에 살고 있는 것은 아닐까?
위키백과, 우리 모두의 백과사전
제곱근 2 또는 루트 2 또는 2의 양의 제곱근은 자기 자신과 곱하여 2가 되는 양의 실수이다. 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 로 표기한다.
2의 제곱근은 자기 자신과 곱하여 2가 되는 실수이다. 2의 양의 제곱근과 2의 음의 제곱근이 있으며, ± 2 {\displaystyle \pm {\sqrt {2}}} 로 표기한다.
2의 제곱근은 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수이다. 기하학에서는 피타고라스 정리에 따라 한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이로 나타낼 수 있다. 2의 제곱근에 대한 근삿값으로는 99⁄70이 쓰인다. 이 값은 2의 제곱근 참값과 사이에 오차가 0.00001 로 매우 정확한 편이다. 실제 2의 제곱근의 값은 순환되지 않는 무한 소수로 소수점이하 65자리까지의 근삿값(OEIS의 수열 A002193)은 다음과 같다.
1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799
2의 제곱근이 무리수라는 사실은 고대 시기부터 잘 알려져 있었다. 에우클레이데스는 《원론》에서 2의 제곱근이 무리수라는 사실을 귀류법을 통하여 증명하였다.
역사 [ 편집 ]
Ybc7289
예일대학교 소장 목록번호 7289인 바빌로니아 점토판에서는 2의 제곱근의 근삿값을 다음과 같이 계산하고 있다.[1]
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 1.41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}.}
또한 고대 인도의 수학책인 《술바수트라》에서는 2의 제곱근의 근삿값을 다음과 같이 계산하고 있다.[2]
1 + 1 3 + 1 3 ⋅ 4 − 1 3 ⋅ 4 ⋅ 34 = 577 408 ≈ 1.414215686. {\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686.}
직각삼각형에서 빗변의 길이를 Z, 다른 변의 길이를 각각 X, Y 라 하면 피타고라스 정리에 따라
X 2 + Y 2 = Z 2 {\displaystyle X^{2}+Y^{2}=Z^{2}}
이고, 따라서
Z = X 2 + Y 2 {\displaystyle Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}
가 된다. 이제 왼쪽의 그림과 같이 빗변이 아닌 두 변의 길이가 1인 직각삼각형의 빗변의 길이는 다음과 같이 계산할 수 있다.
Z = X 2 + Y 2 = 1 2 + 1 2 = 2 {\displaystyle Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}={\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}}
고대 그리스의 피타고라스 학파인 히파소스는 이 계산에서 나타나는 2의 제곱근을 기약분수로 나타낼 수 없다는 사실을 발견하였다.[3] 그런데 피타고라스 학파에서는 자연수와 이의 비로 나타낼 수 있는 기약분수, 즉 유리수 만을 진정한 수로 취급하였기 때문에 무리수의 존재를 인정하는 것은 금기였다. 히파소스는 무리수의 존재를 세상에 알렸다는 이유로 이단으로 취급받았으며, 일설에 의하면 피타고라스 학파에 의해 죽임을 당하였다고 한다. 무리수라는 이름은 피타고라스 학파의 수에 대한 이러한 가치관이 반영된 것이다.[4][주해 1]
헬레니즘 시기 알렉산드리아의 수학자 에우클레이데스(유클리드)는 2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하였다.
계산 [ 편집 ]
다음의 알고리즘을 이용하여 2의 제곱근을 계산할 수 있다.
a n + 1 = a n + 2 a n 2 = a n 2 + 1 a n {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}} 0 > 0 )
위의 식에 a 0 = 1 을 대입하고 알고리즘을 실행하면 다음과 같은 결과가 나온다. 순환의 횟수가 많아 질수록 보다 정확한 근삿값을 계산할 수 있다.
3/2 = 1 .5
.5 17/12 = 1.41 6…
6… 577/408 = 1.41421 5…
5… 665857/470832 = 1.4142135623746…
연분수 [ 편집 ]
다음과 같은 연분수를 사용하여도 2의 제곱근을 계산할 수 있다.
2 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋱ {\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{}\ddots }}}}}}}}}
위 연분수는 아래와 같은 방식으로 전개된 것이다.[5]
2 = 1 + 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\sqrt {2}}-1} = 1 + ( 2 − 1 ) ⋅ 2 + 1 2 + 1 = 1 + 2 − 1 2 + 1 = 1 + 1 2 + 1 {\displaystyle =1+({\sqrt {2}}-1)\cdot {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}+1}}=1+{\frac {2-1}{{\sqrt {2}}+1}}=1+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}} = 1 + 1 1 + 2 = 1 + 1 1 + 1 + 1 2 + 1 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 {\displaystyle =1+{\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}=1+{\frac {1}{1+1+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}}}} = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 {\displaystyle =1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{{\sqrt {2}}+1}}}}}}} = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋱ . {\displaystyle =1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{}\ddots }}}}}}}}.}
일반적으로 무리수는 순환되는 연분수로 표현될 수 있다.[5]
무리수 증명 [ 편집 ]
에우클레이데스 [ 편집 ]
에우클레이데스(유클리드)는 《원론》에서 귀류법을 이용하여 2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하였다.[6] 다음은 에우클레이데스의 증명 과정이다.[7][8]
만약 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 유리수라고 하면, a b = 2 {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}} 서로소인 정수 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 그렇다면 양변을 제곱한 식인 ( a b ) 2 = 2 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}=2} 정리하면 a 2 = 2 b 2 {\displaystyle a^{2}=2b^{2}} a {\displaystyle a} 그러면 a = 2 k {\displaystyle a=2k} k {\displaystyle k} ( 2 k ) 2 = 2 b 2 {\displaystyle (2k)^{2}=2b^{2}} 정리하면 b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} b {\displaystyle b} 3과 5에서 2 {\displaystyle 2} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 따라서 처음의 가정이 잘못되었고, 결국 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 무리수이다.
기하학적 증명 [ 편집 ]
오른쪽의 도형을 이용하여 2의 제곱근이 무리수임을 증명할 수 있다. 이 증명은 작도의 원칙에 따라 눈금 없는 곧은 자와 컴퍼스만을 이용한다.[9]
오른쪽 그림과 같이 빗변의 길이가 m 이고 다른 변들의 길이가 n 인 직각삼각형ABC 가 있다고 하자. 이 때 m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}}
먼저 피타고라스 정리에 의해 m = n 2 + n 2 = 2 n 2 = n 2 {\displaystyle m={\sqrt {n^{2}+n^{2}}}={\sqrt {2n^{2}}}=n{\sqrt {2}}} 따라서, m n = 2 {\displaystyle {\frac {m}{n}}={\sqrt {2}}}
만약 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n}
이제, 점 A {\displaystyle {\rm {A}}} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} A D E {\displaystyle {\rm {ADE}}} A B C {\displaystyle {\rm {ABC}}} 합동임을 알 수 있다.
합동임을 알 수 있다. 또한 ∠ E B F {\displaystyle \angle {\rm {EBF}}} ∠ B E F {\displaystyle \angle {\rm {BEF}}} 45 {\displaystyle 45} B E F {\displaystyle {\rm {BEF}}} A B C {\displaystyle {\rm {ABC}}} 닮은 직각삼각형이고 빗변을 제외한 두 변의 길이가 같다. 같은 이유로 삼각형 F D C {\displaystyle {\rm {FDC}}} A B C {\displaystyle {\rm {ABC}}}
닮은 직각삼각형이고 빗변을 제외한 두 변의 길이가 같다. 같은 이유로 삼각형 이를 바탕으로 각 변의 길이는 BE = m − n, BF = m − n, DF = m − n, FC = n − (m − n) = 2n − m과 같이 정리되고 삼각형 B E F {\displaystyle {\rm {BEF}}} F D C {\displaystyle {\rm {FDC}}} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
2 = m n = 2 n − m m − n {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}={\frac {2n-m}{m-n}}}
그런데 이렇게 하여 만들어진 삼각형 B E F {\displaystyle {\rm {BEF}}} F D C {\displaystyle {\rm {FDC}}}
2 = m n = 2 n − m m − n = 2 ( m − n ) − ( 2 n − m ) ( 2 n − m ) − ( m − n ) = 3 m − 4 n 3 n − 2 m = ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}={\frac {2n-m}{m-n}}={\frac {2(m-n)-(2n-m)}{(2n-m)-(m-n)}}={\frac {3m-4n}{3n-2m}}=\cdots }
이와 같이 m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
주해 [ 편집 ]
↑ 그러나 피타고라스 정리 를 일반화 하기 위해선 무리수의 도입이 반드시 필요하고 결국 헬레니즘 시기에 이르러 무리수의 사용은 보편화되었다.
루트2는 무리수이다
개요
\(\sqrt{2}=1.41421356237309504880168872420969807856967\cdots\)
루트 2는 무리수이다. 이 정리는 그 결과가 무척 심오하고 놀라울 뿐더러, 굉장히 역사적 의미가 있는 정리이기도 하다. 고등학교 1학년 초반에 배우는 것으로, 여기서 무언가를 느끼느냐 아니냐에 따라 고딩시절 수학과의 인연이 결정되는 것이라고 생각을 한다. 직각삼각형에 대한 피타고라스의 정리를 사용하면, 루트 2는 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이이므로 그 존재가 의심할 수 없이 확실하다. 보이는 것은 존재하는 것이기 때문이다. 그런데 루트 2가 무리수라는 사실은, 그 대각선의 길이를 소수로 표현해 본다면, 1.4142135623730950488…으로 반복되지도 않고, 끝나지도 않는 수들이 끊임없이 나타난다는 것을 뜻한다. 참으로 이상한 결과가 아닐 수 없다. 어떻게 저렇게 정확히 표현할 수도 없는 게 수라는 말이냐? 당연히 혼란이 온다. 루트 2는 확실히 존재하는 무언가의 길이로 나타났으므로, 수인 것은 확실하다. 그런데 그것을 소수로 표현하면, 그것이 끝나지 않고 계속된다는 것을 받아들여야 한다. 그렇다면 이제 진실을 받아들여야 하는 순간이 온 것이다. 소수점 밑으로 끝나지 않고 계속되는 수의 열, 바로 그것이 수라는 사실을. 그러므로 0.99999… 도 수다.
증명
√2를 유리수라 한다면, 분수 꼴의 형태로 나타낼 수 있다.
임의의 정수 a, b를 사용해 분수 꼴로 나타내면 √2=b/a(a, b는 서로소인 정수, a≠0)
양변을 제곱하면 2=b^2/a^2 ⇒ 2a^2=b^2
b^2은 짝수이며, b^2이 짝수이므로 b도 짝수가 된다
b가 짝수이므로, b=2c가 되는 정수 c를 잡으면
2a^2=b^2=4c^2 ⇒ a^2=2c^2
a^2은 짝수이며, a^2이 짝수이므로 a도 짝수가 된다
그런데 a와 b가 모두 짝수이면 a와 b가 서로소라는 가정에 모순된다
따라서 √2는 유리수가 아니다
(물론 유리수가 아닌 실수이므로 무리수이다)
역사
관련된 항목들
관련도서
Flannery, David. 2005. The Square Root of Two. 1st ed. Springer.
관련논문
Irrationality of The Square Root of Two — A Geometric Proof Tom M. Apostol, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 9 (Nov., 2000), pp. 841-842
관련기사
루트 2가 무리수임을 n가지 방법으로 증명해보기
루트 2(\(\sqrt{2}\))가 무리수임을 처음 배우는 것은 중학교 3학년 때이다(’19 기준). 그 증명을 기억하는가? 기본적으로는, 유리수라는 걸 가정하고, 어찌어찌하다가, 모순을 이끌어내서 유리수라는 가정이 틀렸다는 것으로부터 \(\sqrt{2}\)가 무리수임이 증명된다. 하지만 이 어찌어찌하는 방법은 사실 엄청 많다. 일반 사람들이 많이 아는 것만 해도 2~3가지는 되는 것 같고, 그 외에도 기상천외한 방법이 많이 있다. 그 수많은 방법들을 살펴보자. 그리고, 일반적인 \(\sqrt{n}\)(\(n\)은 완전제곱수가 아닌 자연수)에 대해 확장할 수 있는지 살펴보자.
본격적인 증명들을 소개하기 전에, 다음과 같은 사실들을 “믿도록” 하자.
I. \(\sqrt{2}\)는 실수이다.
II. 모든 유리수는 \(\frac{a}{b}\) (\(a,b\)는 서로소인 정수, \(b
eq 0\))의 꼴로 나타낼 수 있다.
III. 실수이면서 유리수가 아닌 수는 무리수이다.
IV. 배중률은 참이다.(\(p \vee
eg p\))
V. \(1 < \sqrt{2} < 2 \)이다. 1. 간단한 증명 \(\sqrt{2}\)가 유리수라 가정하자. 그렇다면 두 정수의 비율로 나타낼 수 있으므로, \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) (\(a,b\)는 서로소인 정수, \(b eq 0\))로 나타낼 수 있다. 양변에 \(b\)를 곱하고 제곱하면 $$2b^2 = a^2 \qquad \cdots (1)$$ 따라서 \(a^2\)은 짝수이다. 홀수의 제곱은 홀수, 짝수의 제곱은 짝수이므로 \(a\)가 짝수라는 결론이 나온다. \(a=2c\)라 두자. (1)에 대입하면 $$2b^2 = 4c^2, b^2 = 2c^2$$ 그러므로 위와 비슷하게 \(b\)가 짝수라는 결론이 나온다. 하지만 맨 처음에 우리는 \(a,b\)가 서로소라고 했다. 그런데 \(a,b\)가 모두 2로 나누어떨어지므로 이는 모순이다. 그러므로 \(\sqrt{2}\)는 무리수이다. 증명 끝! ※ 확장 더보기 일단은 \(n\)을 \(k^2\times A\) (\(A\)는 무승수) 꼴로 나타낸다. 무승수란, 1을 제외한 어떤 완전제곱수로도 나누어떨어지지 않는 수이다. 이 때 \(A\)의 소인수 하나를 잡아서 위와 같은 논리를 펼칠 수 있다. \(\sqrt{A}\)가 무리수임을 보인다면, \(\sqrt{n}=k\sqrt{A}\)가 무리수라는 것도 자연스럽게 증명된다! ◎ 앞으로는 확장 부분을 쓸 때, 별다른 말이 없으면, 위에서와 같이 구한 무승수 \(A\)에 대해서만 서술한다. 2. 소인수분해의 유일성을 이용한 증명 \(\sqrt{2}\)가 유리수라 가정하자. 그렇다면 두 정수의 비율로 나타낼 수 있으므로, \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) (\(a,b\)는 자연수)로 나타낼 수 있다. 양변에 \(b\)를 곱하고 제곱하면 $$2b^2 = a^2 \qquad \cdots (1)$$ 한편 \(a\)의 소인수분해에서 2의 지수를 \(e_a\), \(b\)의 소인수분해에서 2의 지수를 \(e_b\)라 하면, (1)의 좌변의 소인수분해에서 2의 지수는 \(2e_b+1\)로 홀수인데, 우변의 소인수분해에서 2의 지수는 \(2e_a\)로 짝수이다. 그런데 두 수는 같으므로, 소인수분해의 유일성에 의해 양변의 2의 지수는 같아야 한다. 홀수와 짝수는 같을 수 없으므로 이는 모순. 그러므로 \(\sqrt{2}\)는 무리수이다. ※ 확장 마찬가지로 \(A\)의 소인수 하나를 잡아서 같은 논리를 펼칠 수 있다. 3. 무한강하법을 이용한 증명 1 \(\sqrt{2}\)가 유리수라 가정하자. 그렇다면 두 정수의 비율로 나타낼 수 있으므로, \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) (\(a,b\)는 자연수)로 나타낼 수 있다. \(a_0=a, b_0=b\)로 두자. 1번에서와 같은 논리로 \(a_0\)는 짝수이다. \(b_1=\frac{a_0}{2}, a_1=b_0\)로 놓으면 $$\frac{a_1}{b_1} = \frac{2b_0}{a_0} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$ 이다. 이제 우리는 하나의 자연수 쌍 \((a_0, b_0)\)로부터 새로운(그리고 여전히 비율이 \(\sqrt{2}\)인) 자연수 쌍 \((a_1, b_1)\)을 얻어냈다. 게다가 $$0 < a_1 + b_1 = \frac{a_0}{2} + b_0 < a_0 + b_0$$ 이다. 이 과정을 반복하면 \((a_1, b_1)\)으로부터 또 다른 자연수의 쌍 \((a_2, b_2)\)를 얻어낼 수 있고, 이런 식으로 두 수의 합이 계속해서 줄어드는 자연수 쌍을 무한히 많이 만들어낼 수 있다. 하지만 초기값인 \(a_0 + b_0 = a+b\)는 유한한 값이므로 모순이다. 그러므로 \(\sqrt{2}\)는 무리수이다. ※ 확장 더보기 \(A\)의 임의의 소인수 \(p\)에 대해 \(a_0\)가 \(p\)의 배수라는 사실을 통해 \(a_0\)가 \(A\)의 배수라는 결론이 나오게 된다. 그렇다면 반복되는 과정에 있는 모든 \(2\)를 \(A\)로 바꿔줄 수 있다. ♤ comment 3번까지의 증명이, 간단한 편이고, 설명하기에도 어렵지 않고, 잘 알려진 증명일 것 같다. 그리고 눈치챘을 수도 있지만 세 증명이 매우 유사한 형태를 띄고 있다. 이제부터 나오는 증명들은, 위의 것들보다는 조금 덜 알려진 증명들이 될 것이다. 4. 무한강하법을 이용한 증명 2 \(\sqrt{2}\)가 유리수라 가정하자. 그렇다면 두 정수의 비율로 나타낼 수 있으므로, \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) (\(a,b\)는 자연수)로 나타낼 수 있다. \(a_0=a, b_0=b\)로 두자. \(\sqrt{2}-1 = \frac{a_0-b_0}{b_0}, \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{b_0}{a_0-b_0}\)인데, \((\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1\)이므로 \(\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2} + 1\)이다. 따라서 $$\sqrt{2}+1 = \frac{b_0}{a_0-b_0}, \sqrt{2} = \frac{2b_0-a_0}{a_0-b_0}$$ 한편, \(1 < \sqrt{2} < 2\)이므로, \(a_0 < b_0 < 2a_0\)이다. 이로부터 \(0 < a_0-b_0 < a_0, 0 < 2b_0-a_0 < b_0\)가 유도된다. \(a_1 = a_0-b_0, b_1 = 2b_0-a_0\)라 놓는다. 이제 우리는 하나의 자연수 쌍 \((a_0, b_0)\)로부터 새로운(그리고 여전히 비율이 \(\sqrt{2}\)인) 자연수 쌍 \((a_1, b_1)\)을 얻어냈다. 게다가 \(0 < a_1 < a_0, 0 < b_1 < b_0\)이다. 이 과정은 무한히 반복 가능하다. 하지만 처음의 \(a_0 = a\)는 유한한 값이므로 이는 모순이다. 그러므로 \(\sqrt{2}\)는 무리수이다. ※ 확장 더보기 원래의 수 \(n\)에 대해서 바로 적용해보도록 하자! \(n=k^2 + t\) (단, \(k^2 < n < (k+1)^2\))이라 하자. 위와 비슷한 과정으로 \(\sqrt{k^2 + t} = \frac{(k^2+t)a_0-kb_0}{b_0-ka_0}\)를 유도할 수 있다. 이제 해야 할 일은, 이렇게 나온 분모와 분자가 각각 \((0,a_0), (0,b_0)\) 안에 들어오는가를 확인하는 것이다. 그리고 그것을 확인하기 위해 사용할 수 있는 식은 \(ka_0 < b_0 < (k+1)a_0\)이다. 분모에 대한 식 \(0 < b_0-ka_0 < a_0\)은 바로 유도된다. 분자가 문제인데, 양쪽 부등식을 차근차근 해 보자. $$(k^2+t)a_0-kb_0 > 0 \Longleftrightarrow \frac{b_0}{a_0} < \frac{k^2+t}{k} \Longleftrightarrow k^2+t < \left(\frac{k^2+t}{k}\right)^2 \Longleftrightarrow k^2 < k^2 + t$$ $$(k^2+t)a_0-kb_0 < b_0 \Longleftrightarrow \frac{b_0}{a_0} > \frac{k^2+t}{k+1} \Longleftrightarrow k^2+t > \left(\frac{k^2+t}{k+1}\right)^2 \Longleftrightarrow (k+1)^2 > k^2 + t$$ 따라서 \(0 < (k^2+t)a_0-kb_0 < b_0\)임이 증명되었다! 이제 같은 논리를 적용할 수 있게 되었다. ♤ comment 처음 이 증명을 접하고, 식을 정말 아름답게 다루는 풀이라고 생각했다. 계수 같은 것들도 절묘하게 맞아 떨어졌는데, 확장을 해 보니까 왜 실제로 맞아 떨어지는지를 확인해볼 수 있었다. 확장 부분에서는, 처음엔 \(ka_0 < b_0 < (k+1)a_0\) 이외에 다른 조건이 필요할 거라고 생각했는데, 신기하게도 필요가 없었다. 5. 최대공약수 정리를 이용한 풀이 일단 최대공약수 정리가 무엇인지부터 보도록 하자. "\(\gcd(a,b)=d\)라 하면, \(ax+by=d\)인 정수 \(x,y\)가 존재한다." 자세한 내용 및 증명은 https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_identity을 참고하면 될 것 같다. 본 증명 \(\sqrt{2}\)가 유리수라 가정하자. 그렇다면 두 정수의 비율로 나타낼 수 있으므로, \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) (\(a,b\)는 서로소인 정수, \(b eq 0\))로 나타낼 수 있다. 이 때 최대공약수 정리에 의해 $$ax+by=1 \qquad \cdots (1)$$ 인 두 정수 \(x,y\)가 존재한다. (1)의 양변에 \(\sqrt{2}\)를 곱하면 $$\sqrt{2}ax+\sqrt{2}by=\sqrt{2}$$ 이다. 한편 \(\sqrt{2}b = a, \sqrt{2}a = 2b\)로부터 $$2bx+ay=\sqrt{2}$$ 이다. 좌변은 정수인데 우변은 1보다 크고 2보다 작으므로 정수가 아니다. 이는 모순이다. 그러므로 \(\sqrt{2}\)는 무리수이다. ※ 확장 더보기 이것도 원래의 수 \(n\)에 대해서 바로 적용할 수 있다. \(2\)를 \(n\)으로 고쳐도 정확히 성립한다!
루트 2 무리수 증명
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루트 2 값을 계산하는 방법에 관해서 지난 시간에 알아보았는데, 이번 시간에는 루트 2가 무리수인 이유에 관해서 설명해 보고자 합니다.
보통 루트 2가 무리수, 즉 유리수가 아니다는 정의는 다음과 같습니다.
위 내용의 증명을 위해서 유리수가 무엇인지 알아봅시다.
“유리수는 실수 중에서 두 정수 a와 b(b≠0)가 있을 때, 분수 a/b로 나타낼 수 있는 수를 말합니다.” 예를 들면 1/2은 1과 2가 모두 정수이고 분수를 나타낼 수 있으므로 유리수가 됩니다. 또한, 1/2은 0.5와 같으므로 0.5도 유리수라 할 수 있습니다. 1/3도 유리수가 되겠습니다. 이를 소수로 나타내면, 0.333333….으로 끝이 없는 소수가 되는데, 이렇게 순환하는 소수도 유리수가 됩니다.
그럼, 무리수는 무엇일까요?
“무리수는 실수 중에서 유리수가 아닌 수, 즉, 두 정수 a와 b(b≠0)가 있을 때, 분수 a/b로 나타낼 수 없는 수를 말합니다.”
따라서, 루트 2가 유리수가 아닌, 즉 무리수임을 증명하기 위해서는 “유리수와 무리수”의 정의를 이용할 수 있습니다. 다음과 같이 루트 2를 유리수라고 가정해 보겠습니다. 그러면 루트 2는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
위 내용에서 “서로소”라는 말이 나오네요. “서로소”는 1 이외의 공약수를 갖지 않은 둘 이상의 정수를 말합니다. 분수 a/b는 a, b가 서로소일 때, 다른 말로 기약 분수라고 하는데, “기약 분수는 분수의 분자와 분모가 더 이상 약분이 되지 않은 분수를 말합니다” 다른 표현으로 하면, 분자와 분모의 공약수가 1 뿐이라서 더 이상 약분되지 않은 분수를 말합니다.
이제, 위 식의 양변을 제곱해 보겠습니다. 그러면 다음과 같이 계산됩니다.
루트 2의 제곱은 2가 되므로 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있겠습니다.
위 식에서 양변에 b 제곱을 곱하면 아래와 같은 식이 됩니다.
위 식을 자세히 보면 b 제곱 앞에 2가 있습니다. b의 제곱을 2배 하면 이 수는 짝수가 됩니다. 왜냐하면 정수 앞에 2가 곱해져 있기 때문입니다. 정수 중에서 짝수를 제곱하면 짝수가 되고, 홀수를 제곱하면 홀수가 됩니다. 2의 제곱은 4, 3의 제곱은 9로 그 예를 들 수 있겠습니다.
따라서 2 곱하기 b의 제곱이 짝수이므로 a제곱도 짝수가 되며, a도 짝수가 됩니다. 따라서 a를 짝수로 표현할 수 있는 2p라고 한다면, 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
위 식에서 b 제곱 앞에 있는 2와 p 제곱 앞에 있는 4는 2로 약분할 수 있습니다. 따라서 2로 약분하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
2 곱하기 p의 제곱은 앞서 언급한 것처럼 짝수입니다. 따라서 앞에 있는 b제곱도 짝수가 되고, b도 짝수가 됩니다.
앞서 a가 짝수가 되었는데, 이제 b도 짝수가 되어 버렸습니다. 그런데 a와 b가 서로소라고 했는데, a와 b가 짝수이면 약분이 된다는 말이므로 이는 두 수가 약분되지 않는다는 전제와 모순이 됩니다.
따라서, 루트 2는 유리수가 아니며, 무리수인 것입니다.
이상으로 루트 2가 무리수인 이유를 알아보았습니다.
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